http://www.youtube.com/watch?v=CSXeGLImW_E
Monday, October 12, 2015
Урвуу Функц
Бид дээр функцийг (х, у) хос тоонуудыг цуглуулга гэж ярьж байсан. Энэ хоёр тоог солиод, (у, х) гэсэн хос тоо гаргаж болохоор санагдаж байна. Бид энэ санааг энэ хичээлдээ улам дэлгэрvvлэн бодно.
Ямар ч 
- ийн хувьд, х
у байхад f(x)f(y) бол f функцийг харилцан нэг утгатай (Х.Н.У) функц гэдэг.
- ийн хувьд, ху байхад f(x)f(y) бол f функцийг харилцан нэг утгатай (Х.Н.У) функц гэдэг.
Жишээ нь f(x)=х2 функц Х.Н.У функц биш байна. Яагаад гэвэл (-1)2=(1)2 байна. Ер нь тэгш функц болгон Х.Н.У функц биш болохлыг харж болно. Харин х2 функцийн тодорхойлогдох мужыг єєрчлєєд Х.Н.У функц гарган авч болно: f(x) = { [0, 
) дээр x2 }. Х.Н.У функцvvдийг графикаас бvр амархан харж болно:
) дээр x2 }. Х.Н.У функцvvдийг графикаас бvр амархан харж болно:
Цэнхэр функц Х.Н.У функц биш байна. (Хар шугам цэнхэр функцийг хоёр удаа огтолж байна.) Харин ногоон функц Х.Н.У функц байна. (Ногоон функц хар шугамыг яаж ч байсан нэгээс илvv огтлохгvй байна.)
Хэрвээ (b, a) хос тооны цуглуулга f функцийг бvрдvvлдэг бол (a, b) хос тооны цуглуулгыг f -1 гэж тэмдэглэдэг. Хэрвээ f -1 нь функц бол бид энэ функцийг f - ийн урвуу функц гэж уншдаг.
Теорем 17
Зєвхєн f нь Х.Н.У байхад л f -1 нь функц байна.
Зєвхєн f нь Х.Н.У байхад л f -1 нь функц байна.
Баталгаа
f -1 - ийг функц гэж бодъё. f(b)=f(c) гэвэл f - д (b, f(b)), (c, f(c)) гэсэн хос тоонууд байна. (c, f(c))=(b, f(c)) болохлээр (f(b), b), (f(c), c) хос тоонууд нь f -1 - д байна. Бид f -1 - ийг функц гэж vзэж байгаа болохлээр b=c байна. b=c гэдэг маань f - ийг Х.Н.У функц байх ёстой гэж байна.
f -1 функцийн графикийг бид f функцийн графикийг g(x)=x функцийн график дээгvvр ойлгож зурж болдог (хос тоонуудыг нь сольж тавьдаг болохлээр).
Хэрвээ f -1 - ийн графикийг дахиад х дээгvvр ойлговол бид f функц дээрээ буцаад ирж байна. Тэгэхлээр (f -1)-1=f байх нь. Энэ нь бас нэг чухал юм хэлж єгч байна. Урвуу функцийн урвуу функц нь функц юм чинь урвуу функц болгон Х.Н.У функц байна.
(a, b) нь f - д байхад, (b, a) нь f -1 - д байдаг билээ. Тэгэхлээр b = f(a), а = f -1(b) хоёр нь адилхан утгатай билээ. f -1(x) = y гэвэл f(y) = x байна. Тэгэхлээр
f(f -1(x))=x байна. (f -1 - ийн тодорхойлогдох муж дээр)
f -1(f(x))=x байна. (f - ийн тодорхойлогдох муж дээр)
f -1(f(x))=x байна. (f - ийн тодорхойлогдох муж дээр)
Тодорхойлолт ёсоор, y=f(x) функцийн урвуу функцийг олохдоо бид x, y хоёрыг нь "сольчихдог". Тэгээд тэр тэнцэтгэлийнхээ у - г олно. Жишээ нь, y=(x-1)3 гэвэл энэ функцийн урвуу функц нь х=(у-1)3 байна. Тэгэхлээр
у-1=х1/3, у=х1/3+1 байна. Ерєнхийдєє ойлгомжтой болохлээр бид дараах хоёр теоремийг баталгаагvйгээр vлдээлээ:
у-1=х1/3, у=х1/3+1 байна. Ерєнхийдєє ойлгомжтой болохлээр бид дараах хоёр теоремийг баталгаагvйгээр vлдээлээ:
Теорем 18
Хэрвээ f нэртэй Х.Н.У функц нь тодорхой завсар дээр тасралгvй бол f нь энэ завсар дээр нэг бол єсєж, нэг бол буурж байна. (Єсєх, буурах хоёрын аль нэг нь, хоёулаа биш.)
Хэрвээ f нэртэй Х.Н.У функц нь тодорхой завсар дээр тасралгvй бол f нь энэ завсар дээр нэг бол єсєж, нэг бол буурж байна. (Єсєх, буурах хоёрын аль нэг нь, хоёулаа биш.)
Теорем 19
Хэрвээ f нэртэй Х.Н.У функц нь тодорхой завсар дээр тасралтгvй бол f -1 нь бас тасралтгvй.
Хэрвээ f нэртэй Х.Н.У функц нь тодорхой завсар дээр тасралтгvй бол f -1 нь бас тасралтгvй.
Дээрх теоремуудыг яагаад vнэн болохыг ингэж ойлгож болох юм (гэхдээ энэ бол баталгаа биш): 18-р теоремийн хувьд хараажаар ямарваа нэгэн функц нь єсєж (буурж) байж л "хавтгайрахаас" зайлсхийнэ. 19-р теоремийн хувьд, бид f функц дээр 13-р теоремийг ашиглаж болно. Хэрвээ f функц [a, b] дээр єсєж (буурж) байвал [f(a), f(b)] - д ямар ч "завсар зай" байхгvй. Тэгэхлээр f -1 функцийн тодорхойлогдох муж нь [f(a), f(b)] байна. Утгын муж нь мэдээж [a, b]. Энэ завсарт бас ямар ч "завсар зай" байхгvйг бид мэднэ (учир нь функцvvд маань эдгээр завсарууд дээр тасралтгvй.) Харин энэ теоремийг яг батлахын тулд бид яг хуучин хязгаарын 
, 
зэргийг ашиглах хэрэг гарна.
, зэргийг ашиглах хэрэг гарна.
Одоо бид f -1 функц тасралтгvй болохыг мэдсэн болохлээр: уламжлал!
Теорем 20
Хэрвээ f нэртэй Х.Н.У функц нь тодорхой завсар дээр тасралтгvй, f -1(b) дээр уламжлалтай ба
(f -1(b)) 
0 бол f -1 нь b дээр уламжлалтай ба
болно.
Хэрвээ f нэртэй Х.Н.У функц нь тодорхой завсар дээр тасралтгvй, f -1(b) дээр уламжлалтай ба
(f -1(b)) 0 бол f -1 нь b дээр уламжлалтай ба болно.
Баталгаа
(f -1(х)) = х болохыг бид мэднэ. 8-р теорем ёсоор
(1) (f -1(b)) 
(f -1)'(b) = 1
(f -1(b)) (f -1)'(b) = 1
байна. Нэгдvгээрт, бид анхнаасаа (f -1(b)) 
0 гэж хэлсэн. Бас f -1 нь тодорхой завсар дээр Х.Н.У функц болохлээр (f-1)' 0 байна. Тиймээс (1) тэнцэтгэл биелэнэ. Єєрєєр хэлбэл
(f -1(b)) 0 гэж хэлсэн. Бас f -1 нь тодорхой завсар дээр Х.Н.У функц болохлээр (f-1)' 0 байна. Тиймээс (1) тэнцэтгэл биелэнэ. Єєрєєр хэлбэл
Нэг юмийг ажиглавал, хэрвээ (f -1(b)) = 0 бол f -1 нь b дээр уламлалгvй байна. Итгэхгvй бол (1) - д дээрх илэрхийлэлийг оруулаад vз. :)
(f -1(b)) = 0 бол f -1 нь b дээр уламлалгvй байна. Итгэхгvй бол (1) - д дээрх илэрхийлэлийг оруулаад vз. :)
Функц
Байгаль нийгмийн юмс vзэгдэл цєм хоорондоо уялдаа холбоотой байдаг бєгєєд нэг нь нєгєєгєєсєє хамаарч хувьсан єєрчлєгдєж байдаг. Vvнийг математикийн ухаанд хийсвэрлэн тусгасан нь функцийн тухай ухагдахуун юм. (Шагдар, Батболд, "Алгебр Ба Анализын Эхлэл 9")
Функц нь дараах шинж чанартай хос тоонуудын цуглуулга юм: хэрэв (a, b) ба (a, c) хоёр хоёулаа энэ цуглуулгад байвал b = c. Єєрєєр хэлбэл энэ цуглуулгад 1-р гишvvн нь адилхан хоёр єєр тоо байж болохгvй. Функцийг бас x тоон дээр f vйлдэлийг хийж y тоог гаргаж авдаг "дvрэм" гэж сэтгэж болох юм.
Энэ функцийн ухагдхуун нь математикт маш чухал учир дээрх тодорхойлолтыг сайн ойлгож авах хэрэгтэй (анхлан сурагчдад тодорхойлолт маань жаахан ойлгомжгvй байж магадгvй).
Одоо функцийг яаж тэмдэглэх тухай ярья. Функц болгонд бид ямар нэгэн vсгээр нэр єгнє. Ямар vсэг байх нь чухал биш, гэхдээ бид голдуу f vсгээр функцийг тэмдэглэдэг. Бас g, h хоёрыг ашиглах нь элбэг. Энд х нь функцийн маань хос тоонуудын 1-р гишvvн, f(x) нь функцийн маань хос тоонуудын 2-р гишvvн болно. Єєрєєр хэлбэл функц маань (x, f(x)) гэсэн хос тоонуудын цуглуулга юм. f(x) нь мэдээж х - ээс шалтгаална. Бид бас функцийн f(x) тоонуудыг у - ээр заримдаа тэмдэглэдэг. Тэгвэл y = f(x) байна.
Зарим функцvvдийн жишээнvvдээс дурдвал:
- y = x2
- g(x) = { x=2 бол 3; x=5 бол 6.34; x=7 бол 0 }
- h(x) = { xэрвээ х нь рационал бол 1; хэрвээ х нь иррационал бол 2 }
Єшєє олон тєрлийн функцvvд байдаг ба бид тэдгээрийг дараа авч vзэх болно. Мєн бидний бага ангидаа vздэг байсан алгебрийн тэгшитгэлvvдийг функц байсан гэж хэлж болно.
Бид нарын 1, 2, 4 - р жишээ ямар ч х - ийн хувьд ойлгомжтой байна. Харин 3 - р жишээ дээр х нь 2, 5, 7 гуравын аль нэг нь биш байхад яах тухай нь ойлгомжгvй байна.
Ямар нэгэн функц - д ойлгомжтой байх бvх х - г авч D олонлог болгоод, D - г тухайн функцийнтодорхойлогдох муж гэж нэрэлдэг. Тодорхойлогдох мужаас гарах бvх f(x) - г авч R олонлог болгоод, R - г тухайн функцийн утгын муж гэж нэрэлдэг.
Хоёр функцийг нэмээд, vржvvлээд, хооронд нь хуваагаад, нэгийг нь нєгєєгєєс нь хасаад шинэ функц гаргаж авч болно. Бас давхар функцийг нэг функцийг нєгєєд нь "оруулж" байж гаргадаг (энэ маш чухал шvv!):
f(x) = x3 + x - 1, g(t) = 5t5 + 52 гэе. Тэгвэл f(g(t)) = (5t5 + 52)3 + (5t5 + 52) - 1, g(f(x)) = 5(x3 + x - 1)5 + 52 болно.
f функцийг g функцэд оруулхад f функцийн утгын муж g функцийн тодорхойлогдох муж болж байгааг анхаарна уу. Бас шинэ зохиомол функцийн маань тодорхойлогдох муж нь f функцийн тодорхойлогдож мужтай тэнцvv байна.
Хэрвээ f(x) = f(-x) бол f - ийг тэгш функц гэж нэрэлдэг; f(x) = - f(-x) бол f - ийг сондгой функц гэж нэрэлдэг.
Функцын хязгаар
Ньютон, Лебниц - ийн математикт (анализ) асар их чухал vvрэг гvйцэтгэдэг функцийн хязгаарын ухагтхуун нь нэлээд хэцvv сэдэвт орно. Иймээс бид хязгаарын жинхэнэ тодорхойлолтыг ойлгомжтой болгохын тулд одоохондоо тvр зуурын тодорхойлолт ашиглана. Тvр зуурынхаа тодорхойлолтоороо хязгаар гэж юу болох, юунд хэрэгтэй юм гэдгийг ойлгож авах байх гэж найдаад яриагаа эхлэе. Тvр зуурын (яг нарийн биш) тодорхойлолт: Ямар нэгэн функц f нь "а" - гийн дэргэд хязгаар "L" - д ойртоно гэдэг маань: "х - г а - д хvрэлцэхvйц хэмжээгээр ойртуулснаар (гэхдээ х = а байж болохгvй), f(x) нь хязгаар L - д бидний хvссэн хэмжээгээр ойртоно." гэсэн vг юм. Одоо хэдэн жишээ авч vзье: Зураг 1 f нь а - гийн дэргэд L хязгаартай байна. Зураг 2 Зураг 3 2-р зураг дээр f(a) = L нь худал болов ч, f нь а - гийн дэргэд L хязгаартай байна. Хэдийгээр 3-р зураг дээр f(a) (энэ функц биш, харин жирийн тоо болохыг анхаарна уу) нь тодорхойлогдоогvй ч, f нь а - гийн дэргэд L хязгаартай байна. Бидэнд f(а) хэд байх, ямар байх нь ерєєсєє хамаа байхгvй; "а" - д ойрхон х - vvдийн хувьд л f(x) нь L - д ойртож байвал боллоо. Давтая: f(a) чухал биш. Хараажаар 4 - зураг дээр а - гийн дэргэд ямар ч хязгаар алга байна. Харин 5-р зураг дээр f - ийн а - гийн дэрэгдэх хязгаар нь L биш харин M байна. Эдгээр жишээнvvдийг сайн ойлгохгvй байгаа бол тvр зуурын тодорхойлолтоо олон дахин уншаарай. Одоо зураг биш, жинхэнэ функц авч vзье. гэе. Одоохондоо sin(x) функцийг vзэж эхлээгvй байгаа бол санаа битгий зов. Дээрх зураг дээрээс ажиглавал х тэгд ойртох тусам f(x) нь тэгд ойртож байна. Єєрєєр хэлбэл x-->0 байвал f(x)-->0 байна. Одоо ямар нэгэн тоо > 0 байлаа гэж бодъё. Энэ бол зvгээр л эерэг, бодит тоо (Грекийн "эпсилон" vсэгээр тэмдэглэгдсэн). байдгийг санавал, тэнцэтгэл бишийг хангахын тулд x < байхад хангалттай гэдэг нь харагдаж байна. нь ямар ч тоо байж болох байсан болохлээр тvрvvний бидний хийсэн ажиглалт vнэн гэдэг нь ойлгомжтой болж байна. Єєрєєр хэлбэл тоо багасах тусам (нойл - д ойртох тусам) f(x) бас багасаж байна. Тэгэхлээр f функцийн хязгаар нь 0 - ийн дэргэд 0 байна. Бид хязгааруудыг гэж тэмдэглэдэг. х - ийн оронд ямарч vсэг орлуулж болно. х нь энд f функцийн хувьсах хэмжэгдхvvнийг тодорхойлохоос єєр vvрэггvй байна. Одоо жинхэнэ тодорхойлолтоо дурдая. Бидний анхны тодорхойлолт ингэж байсан: гэдэг маань: "х - г а - д хvрэлцэхvйц хэмжээгээр ойртуулснаар (гэхдээ х = а байж болохгvй), f(x) нь хязгаар L - д бидний хvссэн хэмжээгээр ойртоно." гэсэн vг юм. Нэгдvгээрт, "х-г а-д ойртуулна", "f(x) хязгаар L-д ойртоно" гэдэг маань "|x - a| - г багасгана", "|f(x) - L| багасана" гэсэнтэй адилхан билээ. Тэгэхлээр: гэдэг маань: "|x - a| - г хvрэлцэхvйц хэмжээгээр багасгасанаар (), |f(x) - L| нь бидний хvссэн хэмжээгээр багасана." гэсэн vг юм. Хоёрдугаарт, "|f(x) - L| нь бидний хvссэн хэмжээгээр багасана" гэдэг нь "Дурын тоо > 0 байхад, бид |f(x) - L| < байлгаж чадна" гэсэнтэй адилхан билээ. Єєрєєр хэлбэл, хичнээн бага байсан ч бид |f(x) - L| - г - ээс бага байлгаж чадна. Тиймээс: гэдэг маань: "|x - a| - г хvрэлцэхvйц хэмжээгээр багасгасанаар (), дурын тоо > 0 байхад, бид |f(x) - L| < байлгаж чадна" гэсэн vг юм. Єгєгдсєн тоо болгонд тохируулж бид |x - a| - г хvрэлцэхvйц хэмжээгээр багасгана гэдэг маань |x - a| < тэнцэтгэл бишийг хангах тоо (Грекийн "делта" vсгээр тэмдэглэв) олдоно гэсэн vг юм. Єгєгдсєн > 0 болгонд ямар нэгэн > 0 олдохыг, бас байгааг анхаарвал, бидний ЖИНХЭНЭ Функцийн Хязгаарын тодорхойлолт ингэж хэлэгдэнэ: Дурын > 0 тоо сонгон авах бvрд 0 < |x - a| < тэнцэтгэл бишийг хангах бvх х - гийн хувьд |f(x) - L| < тэнцэтгэл биш биелж байхаар > 0 тоо олдож байвал L тоог f(x) функцийн а - гийн дэргэдэх хязгаар гэнэ. Дээрхийг гэж тэмдэглэдэг гэдгийг бид олон удаа дурьдсан билээ. Бас нэг юм давтаж хэлье: функцын хязгаарын ухагтхуун маш чухал бєгєєд одооноос эхэлж бидний хийх юм болгон vvнээс хамаарна. Чи дээрх тодорхойлолтыг бvр заавал мэдэх ёстой. Ойлгож ав. Ойлгосон ч, ойлгоогvй ч, vг бvрчлэн цээжилж ав. Энэ тодорхойлолтыг мэдэхгvй бол (эсгvй бол буруу хэлдэг бол) чи теорем батлахдаа алдаа гаргана. Дахиад давтая: Энийг сур, сур, бас дахин сур!
Subscribe to:
Posts (Atom)